Vzpomeňme, že ( viz učební texty k předmětu Integrální transformace) k rekonstrukci
signálu z koeficientů Fourierovy řady v komplexním tvaru
,
je potřeba pro dosažení téže kvality rekonstruovaného signálu
dvojnásobného počtu koeficientů než při použití Four. řady ve tvaru
reálném
Chceme-li ušetřit výpočtovou kapacitu, zkrátit čas výpočtu, je tedy
výhodnější použít Four. řadu v reálném tvaru. Tato skutečnost
analogicky platí v diskrétní oblasti, kde si jednorozměrnou diskrétní
Four. transformaci (DFT 1) definujeme např.
Označíme-li (Uvažujme pouze ortonormální soustavy funkcí. Nedopustíme
se omylu, neboť každou soustavu funkcí lze normalizovat.) , můžeme psát
Vytvoříme-li matici, jejíž prvky budou , tedy
, pak platí ,
Uvědomíme-li si, že jsme definovali
a vzpomeneme-li ( viz Funkce komplexní proměnné), že funkce
je
periodická (
,
,
)
můžeme psát např. pro N=8:
Nakonec tedy dostáváme matici ve tvaru (př. pro N=8 )
Ze vztahu plyne
, kde prvky matice
jsou komplexně sdružené s prvky matice
. Při výpočtu dochází
krát k násobení, tudíž tento postup není vhodný tam, kde je potřeba rychle zpracovávat velké množství dat.
Příklad:
Uvažujme N=8 a . Pak diskrétní Four. transformace signálu f bude:
FFT - Fast Fourier Transformation
Uvažujme N=8 a Při rozkladu si pomůžeme obrázkem:
Postup výpočtu by se dal naznačit následujícím schématem:
Podrobnější (a složitější) schémata se dají najít v literatuře,
zabývající se detailně diskrétními transformacemi (např. The DFT – An
owner’s manual for the discrete Fourier transform; William L. Briggs,
Van Emden Henson; Siam).
Nyní vzpomeňme na vztahy
a aplikujme je:
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
Např. pro p=10 je N=1024 a tedy výpočet FFT 1 je 102,4 krát rychlejší než výpočet DFT 1.
Pokud bychom chtěli využít k počítání FFT 1 maticového zápisu,
musíme se zabývat otázkou nalezení transformační matice, pro níž by platilo:
(Matice je označena velkým písmenem B podle obvyklého označování této
metody – Butterfly.) Matice splňující tyto požadavky byla nalezena ve
tvaru
, jde tedy o matici složenou ze submatic, kde
je jednotková matice řádu N/2,
je diagonální matice, kterou lze obecně napsat ve tvaru:
Při výpočtu bychom museli postupovat zevnitř.
Postupujme však přesně podle vztahu
Výsledek můžeme srovnat s výsledky předchozích příkladů.
V každém kroku výpočtu (provádí se zprava) platí (podle
),
že následující posloupnost délky m je vždy kombinací
Fourierových obrazů při DFT 1 předchozích posloupností délky m/2.